Problem F
Association of Myths
Languages
en
is
Hann Arnar er að spila uppáhalds tölvuleikinn sinn Association of Myths. Hann er að spila sem karakter sem ber nafnið Lumen. Lumen hefur sérstakan hæfileika þar sem spilarinn getur skotið leysigeisla sem nær yfir allt spilasvæðið sem drepur andstæðinginn ef hann hittir. Eini gallinn er að leysigeislinn er ekki mjög víður og Arnar veit ekki alltaf hvar andstæðingurinn er staddur. Því ætlar Arnar að biðja um þína aðstoð að reikna út hvar andstæðingurinn til að hann geti hitt (og þá vonandi unnið leikinn).
Hann tekur þessum leik mjög alvarlega og er því búinn að rannsaka mjög nákvæmlega hvernig andstæðingurinn sinn hreyfir sig. Hann veit að andstæðingurinn sinn ferðast bara eftir beinni línu sem kallast ’medial pathway’. Því getum við lýst stöðu andstæðingsins með falli $f$ af einni breytistærð. Eftir miklar mælingar hefur hann komist að þeirri niðurstöðu að $f$ megi rita á forminu
\[ c\int _ a^ b \left(t_1\Gamma (x) + \sqrt [t_2]{\log (\operatorname {erf}(t_3 x))} - J_ k(x)^{t_4}\right)dx \]þar sem $\log $ er náttúrulegi logrinn,
\[ \Gamma (z) = \int _0^{\infty } x^{z - 1} e^{-x} dx, \]\[ \operatorname {erf}(x) = \frac{2}{\sqrt {\pi }} \int _0^ x e^{-t^2} dt \]og
\[ J_ k(x) = \frac{1}{\pi } \int _0^{\pi } \cos (k \tau - x \sin \tau ) d \tau . \]Hann hugsar samt með sér að það yrði svaka erfitt að láta þig reikna upp úr þessu svo hann segir að það sé nógu gott að reikna $r$-tu stigs Taylor margliðu $f$ í 0 í staðinn, þ.e.
\[ P(x) = \sum _{i = 0}^ r \frac{f^{(i)}(0)}{i!}x^ i. \]En Arnar telur að þrátt fyrir mælingar sínar sé þetta $P$ ekki alveg nógu góð nálgun svo hann vill breyta því aðeins til að reikna betur út stöðu andstæðingsins. Hann veit að eftir því sem líður á leikinn mun andstæðingurinn sinn kaupa sér betri og fleiri skópör svo hann mun ferðast hraðar og hraðar. Til að bæta upp fyrir þetta skilgreinir hann fleiri margliður endurkvæmt með
\[ P_0(x) = P(x), \quad P_ n(x) = \sum _{i = 0}^{r + n} P_{n - 1}(i) x^ i. \]Loks veit hann einnig að eftir því sem líður á leikinn gæti andstæðingurinn þurft að fara á salernið svo til að bæta upp fyrir það þarf að smækka margliðuna aðeins aftur. Hann tekur því margliðuna $P_ s$ og diffrar hana $\operatorname {deg}(P_ s) + 1$ sinni. Svo tekur hann niðurstöðuna úr því, köllum það $g$. Loks þarf að bæta upp fyrir einn hlut í viðbót sem hann vill ekki segja frá því hann vill ekki að þú getir unnið hann í Association of Myths. Því í lokin vill hann að þú svarir með gildinu á
\[ \frac{(g(n) + l)^2}{\pi e} + \frac{1}{l + 1}. \]Þar sem að músin hans Arnars getur ekki numið breytingar minni en hundraðshluta af einingarfjarlægð í leiknum vill hann fá svarið rétt upp á alla vega tvo aukastafi.
Inntak
Fyrsta línan eru fleytitölur $a, b, c$ þ.a. $-10^9 \leq a \leq b \leq 10^9$ og $1 \leq c \leq 10^9$. Þessar tölur munu hafa í mesta lagi 6 kommustafi. Næsta línan eru heiltölur $t_1, t_2, t_3, t_4$ þ.a. $1 \leq t_ i \leq 10^9$. Loks er síðasta línan fimm heiltölur $n, k, r, s, l$ þ.a. $1 \leq n, k, r, s, l \leq 10^3$.
Úttak
Eina fleytitölu með gildinu sem Arnar vill komast yfir.
| Sample Input 1 | Sample Output 1 |
|---|---|
-99.99 99.99 9999.99 99 9 999 9999 9 99 9 99 9 |
9.585073 |
| Sample Input 2 | Sample Output 2 |
|---|---|
-17.56 55.81 1000.7 9 17 16 1000001 17 2 14 3 9 |
9.585073 |
